Фильтр нижних частот (ФНЧ)
Фильтр нижних частот
Фильтр низких частот - это частотно-чувствительная схема, которая пропускает некоторый диапазон частот до определенной частоты. Все другие частоты выше полосы пропускания значительно подавляются. Основной характеристикой фильтров и, в частности, фильтров низких частот, является амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) или ЛАЧХ - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика. Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов. На рис.3.1 изображена схема простого RC-фильтра нижних частот.
Рис.3.1. Пассивный фильтр нижних частот
Описание в частотной области. Для расчета частотной характеристики применим формулу отношения напряжений, представленных в комплексной форме
Отсюда, учитывая, что =Aejφ, получим выражения для амплитудно–частотной характеристики (АЧХ) и фазо–частотной характеристики (ФЧХ): 
Частота среза, на которой А= , φ = –45º, определяется: 
АЧХ наиболее просто составить из двух асимптот:
Отсюда, учитывая, что =Aejφ, получим выражения для амплитудно–частотной характеристики (АЧХ) и фазо–частотной характеристики (ФЧХ): Частота среза, на которой А= , φ = –45º, определяется: АЧХ наиболее просто составить из двух асимптот:1) Ā = 1 = 0 дБ на нижних частотах f<<fср.
2) На высоких частотах f>>fср согласно формуле (3.2), Ā≈1/ωRC, т.е.коэффициент усиления обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент уменьшается в 10 раз, т.е. он уменьшается на 20 дБ на декаду.
3) Ā = = – 3дБ при f = fср.
Описание во временной области. Для анализа схемы во временной области подадим на вход этой схемы положительный и отрицательный скачок напряжения (рис.3.3).
Рис.3.2. АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот
Рис.3.3. Реакция ФНЧ на скачок напряжения
Выходные напряжения будут асимптотически приближаться к установившемся значениям UВЫХ = U1 и UВЫХ = 0 для положительного и отрицательного скачка соответственно: UВЫХ(t) = U1(1 – e–t/RC); UВЫХ(t) = U1 e–t/RC. В качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени τ. Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на 1/e часть величины скачка напряжения на входе. Из формулы (3.5) видно, что постоянная времени равна t=RC Время установления выходного напряжения приближенно также можно найти из формулы (3.5). Если в качестве входного сигнала приложено напряжение прямоугольной формы с периодом Т, то экспоненциальная функция прерывается через каждую половину периода. Какое значение при этом будет достигнуто, зависит от соотношения Т/2 и τ (рис.3.4).
Рис. 3.4. Импульсный режим работы ФНЧ
при различных соотношениях частоты и постоянной времени: верхняя кривая: fВХ≥ 10fСР; средняя кривая: fВХ = fСР; нижняя кривая: fВХ ≤ 1/10 fСР
Кривые на рисунке показывают, что при увеличении постоянной времени τ наклон переходных участков увеличивается. Если постоянная времени становится достаточно большой, то на выходное напряжение цепи становится равным среднему значению входного, в ФНЧ будет работать как детектор среднего значения.
Фильтр нижних частот как интегрирующее звено. В предыдущем разделе показано, что при частотах сигнала f>>fСР выходное переменное напряжение мало по сравнению со входным. В этом случае при |UВЫХ|<<|UВХ|, следует, что RCUВЫХ=UВХ, т.е.
В начале напряжение на выходе растет почти линейно, т.е. оно пропорционально интегралу входного напряжения:
При дальнейшем увеличении выходного напряжения ошибка увеличивается. По этой причине пассивный ФНЧ называют интегрирующей цепью. За время τ напряжение UВЫХ возрастает до 63%, а за время 3 τ – до 95%.Следует помнить, что ошибка интегрирования невелика лишь при t<<τ, при t=τ напряжение на выходе идеального интегратора равно UВХ, а на выходе RC-цепи – только 0,632UВХ, т.е. погрешность составляет 37%.
В начале напряжение на выходе растет почти линейно, т.е. оно пропорционально интегралу входного напряжения:При дальнейшем увеличении выходного напряжения ошибка увеличивается. По этой причине пассивный ФНЧ называют интегрирующей цепью. За время τ напряжение UВЫХ возрастает до 63%, а за время 3 τ – до 95%.Следует помнить, что ошибка интегрирования невелика лишь при t<<τ, при t=τ напряжение на выходе идеального интегратора равно UВХ, а на выходе RC-цепи – только 0,632UВХ, т.е. погрешность составляет 37%.Длительность фронта импульса и частота среза фильтра. Другим параметром, характеризующим ФНЧ, является длительность фронта импульса. Этот параметр показывает время, в течение которого выходное напряжение возрастает от 10 до 90% конечного значения, если на вход подать импульс напряжения прямоугольной формы. Учитывая свойства экспоненциальной функции, из формулы (3.5) получим tФ = t90% – t10% = τ(ln0,9 – ln0,1) ≈ 2,2 τ. При fСР = 1 / 2πτ длительность фронта импульса tФ = 1 / 3fСР. Это соотношение с большой долей точности действительно для фильтра нижних частот с ненагруженным выходом.