Основы спектрального анализа и синтеза

Еще в прошлом веке выдающийся математик Фурье показал, что перио­дическое колебание любой формы при некоторых ограни­чениях можно представить совокупностью из бесконечно­го числа гармонических составляющих с частотами, кратными основной частоте повторения сигнала. Сразу отметим, что любой реальный сигнал удовлетворяет упо­мянутым ограничениям, так что при популярном описа­нии положений теории спектров уместно об этих ограни­чениях попросту забыть. Итак, ряд, оо x(t) = Jo[aksin(27ckft) + bkcos(27ikft)], представляющий попросту сумму синусных и косинусных составляющих гармоник и названный рядом Фурье, по­зволяет при определенном подборе коэффициентов при синусах и косинусах синтезировать колебание любой фор­мы. Здесь k=0, 1, 2, ... — номер гармоники. Значение x(t) при к=0 определяет постоянную составляющую зависимо­сти x(t), гармоника с к=1 называется первой (или основ­ной), с к=2 — второй гармоникой и т. д. Наличие двух составляющих у каждой гармоники связано с тем, что она может иметь произвольную фазу. Как известно, сложение двух гармонических сигналов с одной частотой порождает один гармонический сигнал, но с соответствующей фазой. Так что этот ряд можно записать и в иной форме: x(t) =  £ Aksin(27ckft + <pk), к=0 где Ak - амплитуда k-ой гармоники, а фк — ее фаза. Они задаются выражениями: Ак = ^ ak2  +  V   и    Фк= -arccos (bk /ак ). Для определенности в расчете фазы знак при отрица­тельном значении косинусного коэффициента меняется на обратный. Итак, теперь нам ясно, что сигнал сложной формы может иметь множество гармоник. Их совокупность обра­зует полный спектр сигнала. Можно также говорить о полосе частот спектра заданного сигнала. Вообще говоря, форма сигнала зависит не только от амплитуд гармоник, по и ОТ их фаз. Поэтому нередко спектрограмму дополня­ют зависимостью фаз гармоник от частоты. Вид спектро­грамм может быть самым различным. Он зависит от формы сигнала, спектр которого представляется совокуп­ностью гармоник. Если все гармоники сложить (с учетом, разумеется, их фаз), то их сумма даст исходный сигнал! Когда Фурье сделал свое математическое открытие, никто не предполагал, что оно имеет физическую сущ­ность. Даже появившиеся значительно позже специалис­ты в радиотехнике, широко использовавшие спектраль­ные представления при разработке средств связи, долгое время считали спектры не более чем математической абстракцией (вроде эфира), поскольку не могли выделить из сложного сигнала каждую его гармонику. Каково же было их удивление, когда разработанные со временем высокоизбирательные приемники стали показывать, что гармоники электромагнитных колебаний и электрических сигналов существуют на самом деле!

Сейчас спектральный подход — основополагающий принцип теории и практики радиосвязи любого назначе­ния. Есть и приборы — спектроанализаторы, которые на своем экране показывают в считанные секунды спектры самых сложных сигналов — как звуковых, так и электри­ческих и электромагнитных. А специальные синтезаторы и впрямь позволили суммированием множества синусоид получать самые различные временные зависимости.

Спектральные свойства сигнала  Сигнал и событие Событие (получение записки, наблюдение сигнальной ракеты, прием символа по телеграфу) является сигналом только в той системе отношений, в которой сообщение опознается значимым (например, в условиях боевых действий сигнальная ракета — событие, значимое только для того наблюдателя, которому оно адресовано). Очевидно, что сигнал, заданный аналитически, событием не является и не несет информацию, если функция сигнала и её параметры известны наблюдателю. В технике сигнал всегда является событием. Другими словами, событие - изменение состояния любого компонента технической системы, опознаваемое логикой системы как значимое, является сигналом. Событие, неопознаваемое данной системой логических или технических отношений как значимое, сигналом не является.

Временной и частотный способ представления сигналов. Спектр сигнала.  Есть два способа представления сигнала в зависимости от области определения: временной и частотный. В первом случае сигнал представляется функцией времени s(t) характеризующей изменение его параметра. Кроме привычного временного представления сигналов и функций при анализе и обработке данных широко используется описание сигналов функциями частоты. Действительно, любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гармонических колебаний, совокупность которых называется частотным спектром сигнала. Для перехода к частотному способу представления используется преобразование Фурье: S(ω)=. Функция S(ω) называется спектральной функцией или спектральной плотностью. Поскольку спектральная функция S(ω) является комплексной, то можно говорить о спектре амплитуд | S(ω) | и спектре фаз φ(ω) = arg(S(ω)). Физический смысл спектральной функции: сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечного ряда гармонических составляющих (синусоид) с амплитудами , непрерывно заполняющими интервал частот от 0 до , и начальными фазами φ(ω). Размерность спектральной функции есть размерность сигнала, умноженная на время.

Параметры сигналов Мощность сигнала P = . Удельная энергия сигнала E . Длительность сигнала (T) определяет интервал времени, в течение которого сигнал существует (отличен от нуля). Динамический диапазон есть отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к наименьшей D = 10lgPmax / Pmin. Ширина спектра сигнала F — полоса частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала[~95%]. База сигнала есть произведение длительности сигнала на ширину его спектра B = TF. Необходимо отметить, что между шириной спектра и длительностью сигнала существует обратно пропорциональная зависимость: тем короче спектр, тем больше длительность сигнала. Таким образом, величина базы остается практически неизменной. Отношение сигнал/шум равно отношению мощности полезного сигнала к мощности шума. Объем сигнала характеризует пропускную способность канала связи, необходимую для передачи сигнала. Он определяется как произведение ширины спектра сигнала на его длительность и динамический диапазон V = FTD. Итак, среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин. В радиотехнике приходится иметь дело с электрическими сигналами, которые связаны с передаваемыми сообщениями принятым способом кодирования. Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и некоторых других характеристик. Важное значение имеет также уровень помех в канале связи: чем меньше этот уровень, тем большее количество информации можно передать с помощью сигнала с заданной мощностью. Прежде чем говорить об информационных возможностях сигнала, необходимо ознакомиться с его основными характеристиками. Целесообразно рассмотреть отдельно детерминированные и случайные сигналы. Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью равной единице. Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра.

Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические.

Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие s ( t )= s ( t + k ), где период Т  является конечным отрезком, а k  – любое целое число. Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Этот заимствованный из оптики термин подчёркивает, что спектр гармонического колебания состоит из одной спектральной линии. У реальных сигналов, имеющих начало и конец, спектр неизбежно размывается. Поэтому строго монохроматического колебания в природе не существует. В дальнейшем под гармоническим и монохроматическим сигналом условно будет подразумеваться колебание. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2* Pi / T  . Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник. Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого выполняется условие s ( t ) s ( t + kT ).  Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. Примерами таких сигналов могут служить уже упоминавшиеся импульсы, пачки импульсов, «обрывки» гармонических колебаний и т.д. Непериодические сигналы представляют основной интерес, так как именно они преимущественно используются в практике. Основной характеристикой непериодического, как и периодического сигнала, является его спектральная функция. К случайным сигналам относят сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Такими функциями являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. К случайным сигналам относится также последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приёмника, когда амплитуды импульсов и фазы их высокочастотного заполнения флуктуируют из-за изменения условий распространения, положения цели и некоторых других причин. Можно привести большое число других примеров случайных сигналов. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный. Перечисленные детерминированные сигналы, «полностью известные», информация уже не содержат. В дальнейшем такие сигналы часто будут обозначаться термином «колебание».  Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают:

• а) закон распределения вероятностей.
• б) спектральное распределение мощности сигнала.

На основе первой характеристики можно найти относительное время пребывания величины сигнала в определённом интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому и ряд других важных параметров сигнала. Вторая характеристика даёт лишь распределение по частотам средней мощности сигнала. Более подробной информации относительно отдельных составляющих спектра – об их амплитудах и фазах – спектральная характеристика случайного процесса не даёт. Наряду с полезными случайными сигналами в теории и практике приходится иметь дело со случайными помехами – шумами. Как уже упоминалось выше, уровень шумов является основным фактором, ограничивающим скорость передачи информации при заданном сигнале.